BM-Vorbereitung Mathematik

Bruchrechnen

Brüche helfen uns, Teile eines Ganzen zu verstehen und zu berechnen. Ein Quotient drückt den Anteil einer Gesamtsumme aus, den wir besitzen. Der Zähler stellt die Anzahl der Segmente dar, während der Nenner die gesamten Teilungen des Ganzen angibt. Beispielsweise bedeutet der Bruch ½, dass wir die Hälfte haben.

In Proportionen lernen wir, Brüche zu addieren, subtrahieren, multiplizieren und zu dividieren. Einfache Regeln helfen uns, Brüche umzuwandeln und zu vereinfachen. Bei Routinetätigkeiten, etwa beim Teilen eines Kuchens oder beim Quantifizieren von Komponenten, benötigen wir häufig Brüche.

Bruchaddition und Bruchsubtraktion

Finde den gemeinsamen Nenner

Such unten eine Zahl (Nenner), die in beiden Brüchen vorkommt.
Wenn die Nenner unterschiedlich sind, finde eine Ziffer, die beide Nenner gemeinsam haben. Dies wird als „gemeinsamer Nenner‘ bezeichnet.

Das Ergebnis für 1/4 und 1/6 ist 12, da 12 sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist.

Doch wie ändere ich die Brüche jetzt?
Jetzt müssen wir die Brüche erweitern, um den gemeinsamen Nenner zu erhalten. Um dies zu erreichen, multipliziere Zähler und Nenner mit der richtigen Menge.

Beispiel:

1/4 wird zu 3/12, hierbei rechnen wir 1×3=3 (Zähler) und 4×3=12 (Nenner).
und 1/6 wird zu 2/12, hier machen wir das gleiche wir beim 1. Bruch 1×2=2 (Zähler) und 6×2= 12 (Nenner)

Beide Brüche haben nun den gleichen Nenner (12)

2. Addieren
Im letzten Schritt können wir nun die Brüche gemeinsam addieren.

3/12 + 2/12 = 5/12

Das gleiche machen wir bei der Bruchsubtraktion auch.
Hierbei finden wir im ersten Schritt einen gemeinsamen Nenner, danach erweitern wir die Brüche Zähler und Nenner. Zu guter Letzt subtrahieren wir die Zähler.

Bruchmultiplikation

Bei der Bruchmultiplikation haben wir ein einfaches Spiel.
Hierbei multiplizieren wir nur die Zähler gegenseitig und die Nenner.

Zähler x Zähler rechnen
Nenner x Nenner rechnen
Zu einem Bruch schreiben

Bsp.: 2/5 x 3/6 = 6/30

-> 2 x3 = 6

5 x 6= 30

Bruchdivision

Bei der Bruchdivision gehen wir ähnlich vor wie bei der Multiplikation

Im ersten Schritt wüssen wir den Kehrwert des zweiten Bruches nehmen. Hierbei wechseln wir nun die Zahlen. Somit wird der unsprüngliche Zähler zum Nenner und der Nenner zum Zähler.

Bsp.: 2/3 : 1/4
Hierbei wird der zweite Bruch von 1/4 zu 4/1

2. Nachdem wir den Kehrwert vom zweitem Bruch haben, können wir den ersten Bruch mit dem zweiten Multiplizieren. Genau gleich wie bei der Bruchmultiplikation.

2/3 x 4/1 = 8/3

Und schon haben wir unser Ergebnis

Nachdem wir alle Bruchoperationen angeschaut haben, kommt nur noch ein kleines Detail dazu.

Jedes Endergebnis muss nun auch gekürzt werden.
Hierbei suchen wir eine Gemeinsame Zahl, die den Zähler sowohl Nenner Teilen tut. Das Ziel ist, das wir den Bruch nicht mehr kürzen müssen. Somit suchen wir die grösst mögliche Zahl die beiden Zahlen dividiert.

Zum Beispiel: 12/6

Hierbei ist die gemeinsame Kürzungsfaktor 3
Da 12: 4 = 3

Und 6: 3 = 2

Somit ist das neue Resultat 3/2 und schon beherrschen wir das Thema Bruchrechnen.

Aufgaben: (Vom Skript)

2/7 + 4/3 = 6/21 + 28/21 = 34/21

Der 1. Bruch wird mit 3 erweitert

Der 2. Bruch wird mit 7 erweitert

2. 1/8 – 3/4 = 2/16 – 12/16 = -10/16

Der 1. Bruch wird mit 2 erweitert

Der 2. Bruch wird mit 4 erweitert

3. 1/4 – (-2/3) – 5/2 = 3/12 – 8-8/12) – 30/12 = 3/12 + 8/12 – 30/12= -19/12

Der 1. Bruch wird mit 3 erweitert

Der 2. Bruch wird mit 4 erweitert

Der 3. Bruch wird mit 6 erweitert

4. (-2/3) x 4/3 = -8/9

Die Zähler werden multipliziert

5. 2/5 : (-1/2) x 3/5 = 2/5x – 2/1 x 3/5 = -12/25

Wir nehmen den Kehrwert vom 2 Bruch in der Division

Wir multiplizieren alle Zähler

Wie multiplizieren alle Nenner

Über uns

Wir sind drei Schülerinnen, die zurzeit die BM absolvieren. Unser Ziel ist es, anderen zu helfen, Mathematik besser zu verstehen und die Aufnahmeprüfung problemlos zu schreiben. Auf unserer Website findet ihr verschiedene Mathematikaufgaben, die für die BM-Vorbereitung geeignet sind. Wir glauben, dass Lernen effektiv sein kann, wenn der Wille da ist. Viel Spass beim Lösen der Aufgaben!

Prozentrechnungen

Prozentrechnen ist ein wichtiger Teil der Mathematik. Man braucht es im Alltag oft. Prozentrechnen hilft, Anteile von etwas Ganzem, Veränderungen oder Verhältnisse einfach zu berechnen und darzustellen. Der Begriff „Prozent“ kommt von lateinisch „pro centum“ und bedeutet „von Hundert“. Ein Prozent ist der hundertste Teil eines Ganzen. Das heißt: Bei 100 Teilen eines Ganzen ist ein Teil ein Prozent.

Prozentrechnen ist wichtig im Alltag. Zum Beispiel bei Rabatten, Mehrwertsteuer, Zinsen, Renditen, Preisentwicklungen und Bevölkerungsstatistiken.

Wichtige Begriffe:

Grundwert (G): Der Wert, der 100 % entspricht.

Prozentwert (P): Der Anteil des Grundwerts, der berechnet wird.

Prozentsatz (S): Der Prozentsatz zeigt an, welcher Anteil am Ganzen betrachtet wird.

Es gibt drei grundlegende Formeln, um verschiedene Größen zu berechnen:

Prozentwert (P):

P = s/100 ⋅ G

Mit dieser Formel berechnet man den Anteil des Grundwerts.

Prozentsatz (S): S = P/G ⋅ 100

Hiermit wird der Prozentsatz ermittelt, wenn der Prozentwert und der Grundwert bekannt sind.

Grundwert (G): G =P/S ⋅ 100.

Aufgaben:

30% von 500chf (Skript)
Geg: S=30% G=500chf

Ges: P
P = S: 100 x G = 30:100 x 500= 150chf

2. Wie viel % sind 20chf von 500chf?

Geg: P=20chf G=500chf

Ges: S(%)

P:G x 100= 20:500×100= 4%

3. 30chf sind 70% was sind 100%

Geg: P=30chf S=70%

Ges: G= P:S x 100 = 30:70 x100= 42.9%

4. Eine Flasche kostet 18chf. Diese Flasche hat aktuell 25% Rabatt, was ist der neue Verkaufspreis?

Geg: G=18chf S=25%
Ges: P= S:100 x G = 25:100 x 18 = 4.5chf

Neuer Preis: G-P= 18 – 4.5= 13.5chf

Proportionalitäten und umgekehrte Proportionalitäten berechnen

Aufgaben

Aufgabe 1: Malik unternimmt eine Fahrradtour, die fünf Stunden dauert. Die ersten drei Stunden fährt er durchschnittlich 20 km/h, die letzten zwei Stunden durchschnittlich 15km/h. Berechnen Sie Maliks durchschnittliche Geschwindigkeit in km/h über die gesamte Strecke.

Lösung: 18km/h

Lösungsweg:

3h*20km/h=60km

2h*15km/h=30km

90km/5h=18km/h

Aufgabe 2: Max fährt mit dem Fahrrad von A nach B. Er startet in A um 8.46 Uhr. Für die ersten 8 km benötigt er 19 Minuten. Während den nächsten 11 km kann er eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 30 km/h halten, den Rest der Strecke legt er mit 25 km/h zurück. Er kommt um 9.39 Uhr in B an.

Berechnen Sie, wie viel Zeit Max für das dritte Teilstück benötigt.
Berechnen Sie, welche Strecke er insgesamt zurückgelegt hat.

Lösung:

Max braucht 12 min für das dritte Teilstück.
Er hat insgesamt 24 km zurück gelegt.

Lösungsweg:

1.Teil: 8 km für 19 min

2.Teil: 11km /30 km/h=11/30 h= 22 min

11 km für 22 min

3.Teil: t(ganzer Strecke): 39min+14min= 53 min t(Teil1+Teil2)= 19min+22min=41 min

53 min-41 min= 12 min= 0.2h 0.2h*25km/h=5 km

5km für 12 min.

12min.
5km+11km+8km= 24km

Aufgabe 3: Eine Mensa bietet zwei Menüs an: Menü1 für 11.- und Menü2 für 8.-. Eine Schulkasse bestellt 25 Menüs und bezahlt insgesamt 236.-. Berechnen Sie die Anzahl bestellter Menüs 1.

Lösung: Die Anzahl bestellter Menüs 1 beträgt 12.

Ansatz: x: Anzahl bestellter Menüs 1 für den Preis 11.-. ; 236.-

25-x: Anzahl bestellter Menüs 2 für den Preis 8.-.

Gleichung + Lösung:

11x+(25-x)8=236

11x-8x+200=236

3x=36

X=12

Aufgabe 4 (Bonus): In einem Reiseprospekt finden Sie folgende Angaben über ein Hotel: Das Hotel kann 129 Gäste in 61 Zimmern aufnehmen. Dabei sind doppelt so viele Zweier- wie Dreierzimmer vorhanden. Ausserdem offeriert das Hotel für Singles noch einige Einerzimmer. Berechnen Sie, wie viele Einer-, Zweier-, und Dreierzimmer das Hotel anbietet.

Lösung: Das Hotel hat 17 Dreierzimmer, 34 Zweierzimmer und 10 Einzelzimmer.

Lösungsweg:

Ansatz: x: Anzahl Dreierzimmer (3 Gäste)

2x: Anzahl für Zweierzimmer (2 Gäste)

61 Zimmer -3x: Anzahl Einzelzimmer ( 1 Gast)

Gleichung + Lösung:

3x+4x+61-3x= 129

4x=68

x= 17 (Dreierzimmer)

17*2=34 (Zweierzimmer)

61-34-17=10 (Einzelzimmer)

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen sind ein Grundtyp von Gleichung in Mathematik, die eine Gerade in einem Koordinatensystem beschreiben. Sie werden verwendet, um einfache Beziehung zwischen Variablen darzustellen und werden in vielen Anwendungen in Wissenschaft, Technik und Alltag eingesetzt, wie z B. Physik oder Wirtschaft. Die Kenntnis und das Verständnis dieser Gleichung sind ein bedeutender Schritt bei der Arbeit mit komplizierteren mathematischen Konzepten.

Hierbei lösen wir die Gleichung immer nach der gewünschten Variabel auf.
Wichtig beim Auflösen der Gleichung ist das alle mathematischen Operationen auf beiden Seiten der Gleichung getätigt werden.
Um gut nachzuvollziehen können was wir gemacht haben protokollieren wir die Schritte neben der gleichung.

In einem ersten Schritt bringen wir die Variabel auf eine Seite.
Danach lösen wir die Gleichung so auf das nur noch 1x die Variabel da steht.

Aufgabe 1:

7x = x + 1

Lösung:

x= 1/6

Lösungsweg:

7x = x+1 ;-x

6x = 1 ; :6

x = 1/6

Aufgabe 2:

19x -32 + 17x =18x – 30 + 16x -4

Lösung:

x = -1

Lösungsweg:

19x -32 + 17x =18x – 30 + 16x -4 ; Zusammenrechnen

36x – 32 = 34x – 34 ; -34x

2x – 32 = -34 ; +32

2x = -2 ; :2

x= -1

Aufgabe 3:

1/2 (5x-3) = 5/4 (x+1)

Lösung:

x= 11/5

Lösungsweg:

1/2 (5x-3) = 5/4(x+1) ; Klammern auf Brüche ausweitern

1/2 (5/1x – 3/1) = 5/4 (x+1) ; Multiplizieren

5/2x – 3/2 = 5/4x + 5/4 ; Bruch auf gemeinsamen Nenner erweitern

10/4x -6/4 = 5/4x + 5/4 ; – 5/4x

5/4x – 6/4 = 5/4 ; + 6/4

5/4x = 11/4 ; *4

5x= 11 ; :5

x = 11/5

Aufgabe 4:

5x+2 / 3 – 3x -1/ 2 + 3 = 3(x+1) /2 – x+1/ 6 – 3

Lösung:

x= 5

Lösungsweg:

5x+2 / 3 – 3x -1/ 2 + 3 = 3(x+1) /2 – x+1/ 6 – 3 ; +3

5x+2 / 3 – 3x -1/ 2 + 6 = 3(x+1) /2 – x+1/ 6 ; 3 (x+1) ausmultiplizieren

5x+2/3 – 3x-1 / 2 + 6 = 3x + 3 / 2 – x + 1/6

2 (5x+2) – 3 (3x-1) + 36 = 3 (3x+3) – (x+1) ; ausmultiplizieren

10x + 4 – 9x + 3 + 36 0 9x + 9 – x -1 ; Terme vereinfachen

x + 43 = 8x + 8 ; -x-8

35 = 7x ; :7

x = 5

Aufgabe 5:

5 – x^2 = 5x – (2- x)^2

Lösung:

x=1

Lösungsweg:

5- x^2 = 5x – (2-x)^2 ; Binom ausmultiplizieren

5-x^2 = 5x – (4 – 4x + x^2) ; Klammern auflösen

5 – x^2 = 5x -4 + 4x – x^2 ; + x^2 + 4 und den Term 5x + 4x vereinfachen

9 = 9x ; : 9

x = 1

Aufgabe 6

x/a + 1 = x/b + c

Lösung:

x= ab-abc/ a-b = abc-ab/ b-a ; Beide sind die gleichen Lösungen in anderen Schreibweisen

Lösungsweg 1 :

x/a + 1 = x/b + c ; Werte ausschliessen: a≠0, b≠0 somit *ab rechnen

bx + ab = ax + abc ; -ab-ax

bx – ax = abc – ab ; x ausklammern

x (b – a) = abc – ab ; Dabei kann b≠a sein ansonsten ist b-a=0. Unter . Bedingung dass b-a≠0 wird durch (b-a) geteilt

x= abc-ab/b-a, a≠b, a≠0, b≠0

Lösungsweg 2:

x/a + 1 = x/b + c ;-c (x/a)

1 – c = x/b – x/a ; a≠b, a≠0 und mit *ab rechnen

ab -abc = ax – bx ; x ausmultiplizieren

ab – abc = x(a-b) ; a-b≠0, das heisst auch a≠b, deswegen kann durch . (a-b) geteilt werden

ab-abc / a-b = x ,a≠b,a≠0,b≠0

Grundoperationen

Grundrechenarten und ihre Zeichen

Grundoperationen

Addition

+ ist das Pluszeichen.
Summand + Summand = Summe
Hier gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.

Subtraktion

− ist das Minuszeichen.
Minuend − Subtrahend = Differenz

Multiplikation

× ist das Malzeichen.
Faktor × Faktor = Produkt
Hier gelten das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und die Punkt-vor-Strich-Regel.

Division

: ist das Geteiltzeichen.
Dividend : Divisor = Quotient
Hier gilt ebenfalls die Punkt-vor-Strich-Regel.

Brüche

Ein Bruch wird wie folgt dargestellt: 5/2

Die Linie in der Mitte nennt man Bruchstrich.
Die obere Zahl ist der Zähler, die untere Zahl der Nenner.
Brüche erfüllen denselben Zweck wie Divisionen.

Regeln zu Brüchen werden in einem separaten Kapitel erklärt.

Potenz

Eine Potenz hat kein spezielles Symbol, aber eine bestimmte Schreibweise, z. B. 5².

Die untere Zahl ist die Basis.
Die obere Zahl ist der Exponent.
Das Ergebnis wird Potenzwert genannt.

Wurzel

Das Wurzelzeichen ist √.

Die Zahl über dem Anfang des Wurzelzeichens nennt man Wurzelexponent.
Die Zahl unter dem Zeichen ist der Radikand.
Das Ergebnis, ohne das Wurzelzeichen geschrieben, heißt Wurzelwert.

Gesetze der Mathematik

Kommutativgesetz

Die Reihenfolge der Zahlen spielt bei Addition und Multiplikation keine Rolle.

Beispiel:

Addition: 2+3=3+22 + 3 = 3 + 22+3=3+2
Multiplikation: 2×3=3×22 × 3 = 3 × 22×3=3×2
Dieses Gesetz gilt nicht für Subtraktion und Division:
- 2−3≠3−22 – 3 ≠ 3 – 22−3=3−2
- 3:2≠2:33 : 2 ≠ 2 : 33:2=2:3

Assoziativgesetz

Die Platzierung von Klammern ist bei Addition und Multiplikation beliebig.

Beispiel:

Addition: (2+3)+4=2+(3+4)(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)(2+3)+4=2+(3+4)
Multiplikation: (2×3)×4=2×(3×4)(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)(2×3)×4=2×(3×4)
Dieses Gesetz gilt nicht für Subtraktion und Division:
- (2−3)−4≠2−(3−4)(2 – 3) – 4 ≠ 2 – (3 – 4)(2−3)−4=2−(3−4)
- (2:3):4≠2:(3:4)(2 : 3) : 4 ≠ 2 : (3 : 4)(2:3):4=2:(3:4)

Punkt-vor-Strich-Regel

Multiplikationen und Divisionen haben Vorrang vor Additionen und Subtraktionen.

Beispiel: 2+3×42 + 3 × 42+3×4: Zuerst wird 3×43 × 43×4 berechnet, dann das Ergebnis zu 222 addiert.

Distributivgesetz

Eine Zahl kann auf eine Summe oder Differenz in einer Klammer verteilt werden.

Beispiel: (2+3)×4=2×4+3×4(2 + 3) × 4 = 2 × 4 + 3 × 4(2+3)×4=2×4+3×4

Ausklammerungsgesetz

Dieses Gesetz ist die Umkehrung des Distributivgesetzes.
Gleiche Faktoren können ausgeklammert werden.

Beispiel: 8+12=2×4+3×4=(2+3)×48 + 12 = 2 × 4 + 3 × 4 = (2 + 3) × 48+12=2×4+3×4=(2+3)×4

Produktregel für Wurzel

Die Wurzel eines Produkts ist das Produkt der einzelnen Wurzeln.

Beispiel:

Quotientenregel für Wurzeln

Die Wurzel eines Quotienten ist der Quotient der einzelnen Wurzeln. Natürlich gilt dafür b≠0:

Beispiel:

Potenzregel für Wurzeln

Eine Wurzel kann als Potenz mit Bruch-Exponent geschrieben werden:

Beispiel:

Produktregel für Potenzieren

Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

Beispiel: a^m*aⁿ = a ^m+n

Quotientenregel für Potenzen

Bei gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

Beispiel: a^m:aⁿ = a ^m-n

Potenzregel für Potenzen

Bei Potenzen von Potenzen werden die Exponenten multipliziert.

Beispiel: (a^m)ⁿ = a ^m*n

Produktregel im Exponenten

Jede Zahl im Produkt wird einzeln potenziert.

Beispiel: (a*b)ⁿ = aⁿ*bⁿ

Quotientenregel im Exponenten

Zähler und Nenner werden einzeln potenziert. Natürlich gilt dafür b≠0:

Beispiel: (a:b)ⁿ = aⁿ:bⁿ

Aufgaben

3 leichten Aufgaben

Vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich:
1. 12x-y+3z-7x+5y-z=
  1. 8b-3c-7b+3c-b
Schreiben Sie die Terme ohne Klammer und vereinfachen Sie so weit wie möglich.
1. (36u)-(-12v)+(+24v)-(+14u)+(-48v)=
  1. (a+b+c)+(a-b+c)-(a-b-c)=
Schreiben Sie ohne Klammer und vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich.
1. 19b-7a-18x+4-3a-20b+28x-3-10a+7b+5-8a-3x-15=
1. (7a-2b)-((3a+c)-(2b-3c))=

3 mittelstufige Aufgaben

Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich.
- 3a+(2a+3b)*2c+4bc=
- 7a(2a-3b-4c)2y=
Löse den folgenden Term
- (18x²-15xy):(-3x)=
- (8mn-4m-12m²):(-4m)=
Löse den folgenden Term
2(3a+b)-((b+2c)-(2c+3a))=
(25u-13v)-(41u-(14u-3(4u-5v)-8v)-7(2u-v))=

3 schwierige Aufgaben

Berechnen Sie von Hand.

a. (3/4)²=

b. (-2)³=

c. 5⁰=

Löse den folgenden Term
4+2³*5-4²:8=
100*2:5-2*20+5²*2-10*3=
3*(2+5*3+1)+2*(20-5*3-5)-3*0+2=
Berechnen Sie von Hand.

LÖSUNGEN:

1a. Lösung: 5x+4y+2z

Lösungsweg :

12x-y+3z-7x+5y-z=12x-7x-y+5y+3z-z=5x+4y+2z

1b. Lösung:0

Lösungsweg :

8b-3c-7b+3c-b= 8b-7b-b+3c-3c = 0

2a. Lösung: 22u-12v

Lösungsweg :

(36u)-(-12v)+(+24v)-(+14u)+(-48v)= 36u+12v+24v-14u-48v=36u-14u+12v+24v-48v=22u-12v

2b. Lösung: a+b+3c

Lösungsweg:

(a+b+c)+(a-b+c)-(a-b-c)= a+b+c+a-b+c-a+b+c=a+a-a+b-b+b+c+c+c=a+b+3c

3a. Lösung: -28a+6b+7x-9

Lösungsweg:

19b-7a-18x+4-3a-20b+28x-3-10a+7b+5-8a-3x-15=

19b−20b+7b−7a−3a−10a−8a−18x+28x−3x+4−3+5−15=6b-28a+7x-9

3b. Lösung: 4a-4c

Lösungsweg:

(7a-2b)-((3a+c)-(2b-3c))= 7a-2b-(3a+c-2b+3c)=7a-2b-3a-c+2b-3c=

7a-3a-2b+2b-c-3c=4a-4c

4a. Lösung: 3a+4ac+10bc

Lösungsweg:

3a+(2a+3b)*2c+4bc=3a+4ac+6bc+4bc=3a+4ac+10bc

4b. Lösung: 28a^2y-42aby-56acy

Lösungsweg:

7a(2a-3b-4c)2y=(14a²-21ab-28ac)2y=28a²y-42aby-56acy

5a. Lösung: -6x+5y

Lösungsweg:

(18x^2-15xy):(-3x)= -3x(-6x+5y) / -3x = -6x+5y

5b. Lösung: -2n+3m+1

Lösungsweg:

(8mn-4m-12m^2):(-4m)= -4m(-2n+1+3m)/-4m = -2n+1+3m

6a. Lösung: 9a+b

Lösungsweg :

2(3a+b)-((b+2c)-(2c+3a))= 6a+2b-(b+2c-2c-3a)=6a+2b-b-2c+2c+3a=

6a+3a+2b-b-2c +2c=9a+b

6b. Lösung: -13v

Lösungsweg :

(25u-13v)-(41u-(14u-3(4u-5v)-8v)-7(2u-v))= 25u−13v−41u+(14u−3(4u−5v)−8v)+7(2u−v)=

25u−13v−41u+(14u−12u+15v−8v)+7(2u−v)= 25u−13v−41u+(2u+7v)+7(2u−v)= 25u−13v−41u+2u+7v+14u−7v=−13v+7v−7v=−13v

7a. Lösung: 9/16

7.a) Lösung : 9/16

Lösungsweg :

(3/4)²=(3)²/(4)²=9/16

7b. Lösung: -8

Lösungsweg :

(-2)³=(-2)*(-2)*(-2)=-8

7c. Lösung: 1

Lösungsweg:

5⁰=1

8a. Lösung: 3/4

Lösungsweg:

8b. Lösung: nicht definiert

Lösungsweg:

8c. Lösung: 0

Lösungsweg:

9a. Lösung: 42

Lösungsweg:

4+2³*5-4²:8=4+40-2=42

9b. Lösung: 20

Lösungsweg:

100*2:5-2*20+5²*2-10*3=(100*2:5)-(2*20)+(5²*2)-(10*3)=40-40+50-30=20

9c. Lösung: 56

Lösungsweg:

3*(2+5*3+1)+2*(20-5*3-5)-3*0+2=3⋅18+2⋅0−3⋅0+2=54+0−0+2=56

ggT und kgV berechnen

ggT: Größter gemeinsamer Teiler von zwei oder mehreren Zahlen. Man kann diese Zahl auf zwei verschiedene Methoden herausfinden. Entweder schreibt man die Teiler jeder Zahl auf, sodass am Ende der größte gemeinsame Teiler herausgelesen werden kann. Für diese Methode müssen die Teilbarkeitsgesetze auswendig gelernt werden, aber bei größeren Zahlen beginnt man zu raten. Oder man kann eine Primfaktorzerlegung durchführen: Dabei werden alle Primzahlen, die bei allen Zahlen mit der gleichen Häufigkeit vorkommen, multipliziert. Siehe das Beispiel.

kgV: Kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei oder mehreren Zahlen. In diesem Kontext ist ein Vielfaches das Produkt aus einem Faktor und einer gegebenen Zahl. Der andere Faktor ist beliebig. Dieses Multiplizieren mit verschiedenen Faktoren kann zum gleichen Resultat führen, und das nennt man das kleinste gemeinsame Vielfache. Hier ist es empfehlenswert, die Primfaktorzerlegung zu verwenden, da dies schneller geht als das ungezielte Raten der Faktoren für die Multiplikationen. Siehe das Beispiel.

Primfaktoren: Primfaktoren sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Die kleinsten Primzahlen sind folgende: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

Primfaktorzerlegung: Jede Zahl wird in Primfaktoren zerlegt. Die Primfaktorzerlegung zeigt auf, mit welchen Primfaktoren multipliziert werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Wenn ein Primfaktor mehrmals vorkommt, wird er als eine Potenz dargestellt. Beispiele für die Primfaktorzerlegung:

5 (1;5)

15 (1;3;5)

200 (1;2;2;2;5;5) = 200(1;2³;5²)

ggT mittels Primfaktorzerlegung:

Nach der Primfaktorzerlegung aller Zahlen werden die Primfaktoren herausgesucht, die bei allen Zahlen vorkommen. Bei mehrfach vorkommenden Primfaktoren wird der kleinere Exponent genommen. Diese herausgesuchten Primfaktoren werden miteinander multipliziert, um den ggT zu erhalten.

Beispiel:Finde den ggT der Zahlen 356, 700 und 300:

1.Primfaktorzerlegung:

356(2;2;89) = 356(2²;89)

700(2;2;5;5;7) = 700(2²;5²;7)

300(2;2;3;5;5) = 300(2²;3;5²)

2.Gemeinsame Primfaktoren mit kleinstem Exponent:

2²

3. Multiplikation der herausgesuchten Primfaktoren:

ggt=2²=4

kgV mittels Primfaktorzerlegung:

Nach der Primfaktorzerlegung aller Zahlen werden die Primfaktoren mit dem höchsten Exponenten herausgesucht. Diese Primfaktoren werden miteinander multipliziert, um das kgV zu erhalten.

Beispiel: Finde das kgV der Zahlen 356, 700 und 300:

1.Primfaktorzerlegung:

356(2;2;89) = 356(2²;89)

700(2;2;5;5;7) = 700(2²;5²;7)

300(2;2;3;5;5) = 300(2²;3;5²)

2. Primfaktoren mit höchstem Exponenten:

2²;5²;3;7;89

3. Multiplikation der herausgesuchten Primfaktoren:

2²*5²*3*7*89=186900

Aufgaben:

Einfache Aufgaben:

Bestimmen Sie den ggT von den folgenden Zahlen:

1.) 36, 60

2.) 45, 75

Bestimmen Sie den kgV von den folgenden Zahlen:

3.)8, 12

4.) 18, 24

Mittlere Aufgaben:

Bestimmen Sie den ggT von den folgenden Zahlen:

1.)36, 48, 60

2.)42, 70, 98

Bestimmen Sie den kgV von den folgenden Zahlen:

3.)8, 12, 15

4.)24, 36, 48

Schwierige Aufgaben:

1.) Bestimmen Sie den kgV und den ggT folgender Zahlen: 2²*3², 2³*5*7

2.) Zwei Eisenstangen sind 420 cm und 700 cm lang. Es sollen daraus gleichlange Stücke (nur ganze Zentimetermasse) geschnitten werden. Bestimmen Sie, wie die Länge zu wählen ist, wenn die Stücke möglichst lang sein sollen.

3.) Ein Bus fährt immer nach 15 Minuten wieder vom Bahnhofplatz weg. Ein anderer Bus bedient eine längere Strecke und fährt alle 18 Minuten weg. Beide fahren morgens um 7 Uhr zum ersten Mal. Bestimmen Sie, um welche Zeit sie sich das nächste Mal auf dem Bahnhofplatz treffen.

LÖSUNGEN:

Einfache Aufgaben

Lösung:12

Lösungsweg:

36=2*2*3*3

60=2*2*3*5

Ggt= 2*2*3=12

Lösung:15

Lösungsweg:

45=3*3*5

75=3*5*5

Ggt=3*5=15

Lösung:24

Lösungsweg:

8=2*2*2

12=2*2*3

kgV=2*2*2*3=24

Lösung:72

Lösungsweg:

18=2∗3∗3

24=2∗2∗2∗3

Kgv=2*2*2*3*3=72

Mittlere Aufgaben:

Lösung:12

Lösungsweg:

36=2∗2∗3∗3

48=2∗2∗2∗2∗3

60=2∗2∗3∗5

Ggt=2*2*3=12

Lösung:14

Lösungsweg:

42=2∗3∗7

70=2∗5∗7

98=2∗7∗7

Ggt=2*7=14

Lösung:120

Lösungsweg:

8=2∗2∗2

12=2∗2∗3

15=3∗5

Kgv=2*2*2*3*5=120

Lösung:144

Lösungsweg:

24=2∗2∗2∗3

36=2∗2∗3∗3

48=2∗2∗2∗2∗3

kgV=2*2*2*2*3*3=144

Schwierige Aufgaben:

Lösung: ggt=4 kgV=2520

Lösungsweg:

Ggt=2²=4

Kgv=2³*3²*5*7=2520

Lösung:140 cm

Lösungsweg:

Der ggT der Längen 420cm und 700 cm ist gesucht.

420=2∗2∗3∗5∗7

700=2∗2∗5∗5∗7

ggT=2*2*5*7=140 cm

Lösung: Sie treffen sich um 08:30.

Lösungsweg:

Der kgV von 15 min und 18 min wird gesucht.

15=3∗5

18=2∗3∗3

kgV=2*3*3*5=90 min 7 Uhr +1h30min=8:30 Uhr

Einfache Aufgaben

Lösung:12

Lösungsweg:

36=2*2*3*3

60=2*2*3*5

Ggt= 2*2*3=12

2. Lösung : 15

Lösungsweg:

45=3*3*5

75=3*5*5

Ggt=3*5=15

3. Lösung: 24

Lösungsweg:

8=2*2*2

12=2*2*3

kgV=2*2*2*3=24

4. Lösung:72

Lösungsweg:

18=2∗3∗3

24=2∗2∗2∗3

Kgv=2*2*2*3*3=72

Mittlere Aufgaben:

Lösung: 12

Lösungsweg:

36=2∗2∗3∗3

48=2∗2∗2∗2∗3

60=2∗2∗3∗5

Ggt=2*2*3=12

2. Lösung:14

Lösungsweg:

42=2∗3∗7

70=2∗5∗7

98=2∗7∗7

Ggt=2*7=14

3. Lösung: 120

Lösungsweg:

8=2∗2∗2

12=2∗2∗3

15=3∗5

Kgv=2*2*2*3*5=120

4. Lösung: 144

Lösungsweg:

24=2∗2∗2∗3

36=2∗2∗3∗3

48=2∗2∗2∗2∗3

kgV=2*2*2*2*3*3=144

Schwierige Aufgaben:

Lösung ggt = 4, kgV = 250

Lösungsweg:

ggT=2²=4

kgV=2³*3²*5*7=2520

2. Lösung: 140cm

Lösungsweg:

Der ggT der Längen 420cm und 700 cm ist gesucht.

420=2∗2∗3∗5∗7

700=2∗2∗5∗5∗7

ggT=2*2*5*7=140 cm

3. Lösung: Sie treffen sich um 08:30.

Lösungsweg:

Der kgV von 15 min und 18 min wird gesucht.

15=3∗5

18=2∗3∗3

kgV=2*3*3*5=90 min 7 Uhr +1h30min=8:30 Uhr

Einheiten umformen

In diesem Themengebiet schauen wir uns die Umformungen der Einheiten an.
Doch für was sind Einheiten eigentlich da? Einheiten ermöglichen die Messung und den Vergleich von Grössen.

Einheiten entscheiden die Art und Weise, wie Informationen verstanden und kommuniziert werden. Eine individuelle Einheit für jede Grösse existiert im metrischen System (SI-Einheiten).

SI-Einheiten, kurz für „Système International d’Unités“, sind ein weltweit verwendetes metrisches Einheitensystem, das entwickelt wurde, um eine einheitliche und verständliche Basis für die Messung von physikalischen Größen zu schaffen. Die SI-Einheiten bestehen aus sieben Basiseinheiten:

Grösse	Symbol	Einheit	Abkürzung	Messgeräte
Länge	l	Meter	m	Massstab
Masse	m	Kilogramm	kg	Waagen
Zeit	t	Sekunde	s	Uhren
Temperatur	T	Kelvin	K	Thermometer
Lichtstärke	lV	Candela	cd	Belichtungsmesser
Stromstärke	l	Ampere	A	Amperemeter
Stoffmenge	n	Mol	mol	Laborgeräte

Um die Handhabung dieser Einheiten zu erleichtern, werden griechische Präfixe verwendet, die die Größenordnungen der Einheiten angeben. Diese Präfixe tragt dazu bei sehr große oder sehr kleine Werte auszudrücken.

Griechische Präfixe

10¹⁸	Exa	E	Trillion	1’000’000’000’000’000’000
10¹⁵	Peta	P	Billiarde	1’000’000’000’000’000
10¹²	Tera	T	Billion	1’000’000’000’000
10⁹	Giga	G	Milliarde	1’000’000’000
10⁶	Mega	M	Million	1’000’000
10³	Kilo	k	Tausend	1’000
10²	Hekto	h	Hundert	100
10¹	Deka	da	Zehn	10
10⁰	–	(Grundeinheiten)	Eintel	1
10^-1	Dezi	d	Zehntel	0,1
10^-2	Zenti	c	Hundertstel	0,01
10^-3	Mikro	µ	Millionsten	0,001
10^-6	Nano	n	Milliardstel	0,000 001
10^-9	Pico	p	Billionstel	0,000 000 001
10^-12	Femto	f	Billiardstel	0,000 000 000 001
10^-15	Atto	a	Trillionstel	0,000 000 000 000 001

Die SI-Grundeinheiten sind als «Eintel» definiert.

Doch nun wie geht die ganze?
Anhand vom Beispiel Meter in Zentimeter umrechnen werden wir uns das genauer anschauen.

Schritt: Einheiten umrechnen

Wenn wir Meter [m] in die Einheit Zentimeter [cm] umrechnen möchten, müssen wir zuerst die Endeinheit [cm] in [m] umrechnen. Wir nehmen dazu immer den Wert 1. Dies machen wir mithilfe von griechischen Präfixen.

z.Bsp:

2.5m =2.5m

1cm= 0.01m

Nachdem wir das gemacht haben können wir ganz einfach mithilfe dieser Werte weiter rechnen.
Wir dividieren den ersten Wert mit dem zweiten
2.5m : 0.01m = 250cm

Und schon haben wir unser umgerechnetes Resultat in die gewünschte Einheit

Diese Berechnung ist gültig für eindimensionale Grössen, Flächen und Volumen

Die Berechnung für Zeit schauen wir in einem zweiten Schritt an.

Vorerst aber ein paar Beispiele für die Berechnungen wie wir oben angeschaut haben:

1 Meter in Kilometer:
1. Definiere die Einheiten:
1 Meter = 1m
1 Kilometer= 1’000m (siehe griechische Präfixe)

2. Berechnung
1m:1000km=0.001km

2 Liter in Milliliter:
1. Definieren
2 Liter = 2m
1 Milliliter = 0.001l (siehe griechische Präfixe)

2. Berechnen
2:0.001 =2’000ml

4 m² in cm²(Quadratisch -> Fläche)1. Definiere die Einheiten
4m² = 2m x 2m = 4m²
1cm= 1m x 1m 1cm²= 1cm x 1cm = 0.01m x 0.01m = 0.001m²

2. Berechnen
4m²: 0.0001m²= 40’000m²

4cm

64cm³in m³ (Kubisch -> Volumen)

4cm

1. Definiere die Einheiten
64cm³ = 4cm x 4cm x 4cm = 64cm³ 1m³ = 1m x 1m x 1m= 100cm x 100cm x 100cm= 1’000’000cm³

2. Berechnen
64cm³ : 1’000’000cm³= 0.000064m³

Aufgaben:

Kilogramm in Gramm umrechnen:

Aufgabe: Wie viele Gramm sind 3,5 Kilogramm?

Lösung: 3,5 kg : 0.001kg=3500 g

3.5kg = 3.5kg

1g=0.001kg

Meter in Zentimeter umrechnen:

Aufgabe: Wie viele Zentimeter sind 1,2 Meter?

Lösung: 1,2 m : 0.01 m=120 cm

1,2 m =1.2m

1cm= 0.01m

Liter in Milliliter umrechnen:

Aufgabe: Wie viele Milliliter sind 0,75 Liter?

Lösung: 0,75l: 0.001l=750 l

0.75l = 0.75l

1ml = 0.001l

Minuten in Stunden umrechnen

Definiere die Einheit:

1 Stunde = 60 Minuten.

Formel zur Umrechnung:

Stunden (h)= min/60

Aufgabe: Wie viele Stunden sind 150 Minuten?

Stunden (h) = 150/60 = 2.5h