Lineare Gleichungen sind ein Grundtyp von Gleichung in Mathematik, die eine Gerade in einem Koordinatensystem beschreiben. Sie werden verwendet, um einfache Beziehung zwischen Variablen darzustellen und werden in vielen Anwendungen in Wissenschaft, Technik und Alltag eingesetzt, wie z B. Physik oder Wirtschaft. Die Kenntnis und das Verständnis dieser Gleichung sind ein bedeutender Schritt bei der Arbeit mit komplizierteren mathematischen Konzepten.
Hierbei lösen wir die Gleichung immer nach der gewünschten Variabel auf.
Wichtig beim Auflösen der Gleichung ist das alle mathematischen Operationen auf beiden Seiten der Gleichung getätigt werden.
Um gut nachzuvollziehen können was wir gemacht haben protokollieren wir die Schritte neben der gleichung.
In einem ersten Schritt bringen wir die Variabel auf eine Seite.
Danach lösen wir die Gleichung so auf das nur noch 1x die Variabel da steht.
Aufgabe 1:
7x = x + 1
Lösung:
x= 1/6
Lösungsweg:
7x = x+1 ;-x
6x = 1 ; :6
x = 1/6
Aufgabe 2:
19x -32 + 17x =18x – 30 + 16x -4
Lösung:
x = -1
Lösungsweg:
19x -32 + 17x =18x – 30 + 16x -4 ; Zusammenrechnen
36x – 32 = 34x – 34 ; -34x
2x – 32 = -34 ; +32
2x = -2 ; :2
x= -1
Aufgabe 3:
1/2 (5x-3) = 5/4 (x+1)
Lösung:
x= 11/5
Lösungsweg:
1/2 (5x-3) = 5/4(x+1) ; Klammern auf Brüche ausweitern
1/2 (5/1x – 3/1) = 5/4 (x+1) ; Multiplizieren
5/2x – 3/2 = 5/4x + 5/4 ; Bruch auf gemeinsamen Nenner erweitern
10/4x -6/4 = 5/4x + 5/4 ; – 5/4x
5/4x – 6/4 = 5/4 ; + 6/4
5/4x = 11/4 ; *4
5x= 11 ; :5
x = 11/5
Aufgabe 4:
5x+2 / 3 – 3x -1/ 2 + 3 = 3(x+1) /2 – x+1/ 6 – 3
Lösung:
x= 5
Lösungsweg:
5x+2 / 3 – 3x -1/ 2 + 3 = 3(x+1) /2 – x+1/ 6 – 3 ; +3
5x+2 / 3 – 3x -1/ 2 + 6 = 3(x+1) /2 – x+1/ 6 ; 3 (x+1) ausmultiplizieren
5x+2/3 – 3x-1 / 2 + 6 = 3x + 3 / 2 – x + 1/6
2 (5x+2) – 3 (3x-1) + 36 = 3 (3x+3) – (x+1) ; ausmultiplizieren
10x + 4 – 9x + 3 + 36 0 9x + 9 – x -1 ; Terme vereinfachen
x + 43 = 8x + 8 ; -x-8
35 = 7x ; :7
x = 5
Aufgabe 5:
5 – x^2 = 5x – (2- x)^2
Lösung:
x=1
Lösungsweg:
5- x^2 = 5x – (2-x)^2 ; Binom ausmultiplizieren
5-x^2 = 5x – (4 – 4x + x^2) ; Klammern auflösen
5 – x^2 = 5x -4 + 4x – x^2 ; + x^2 + 4 und den Term 5x + 4x vereinfachen
9 = 9x ; : 9
x = 1
Aufgabe 6
x/a + 1 = x/b + c
Lösung:
x= ab-abc/ a-b = abc-ab/ b-a ; Beide sind die gleichen Lösungen in anderen Schreibweisen
Lösungsweg 1 :
x/a + 1 = x/b + c ; Werte ausschliessen: a≠0, b≠0 somit *ab rechnen
bx + ab = ax + abc ; -ab-ax
bx – ax = abc – ab ; x ausklammern
x (b – a) = abc – ab ; Dabei kann b≠a sein ansonsten ist b-a=0. Unter . Bedingung dass b-a≠0 wird durch (b-a) geteilt
x= abc-ab/b-a, a≠b, a≠0, b≠0
Lösungsweg 2:
x/a + 1 = x/b + c ;-c (x/a)
1 – c = x/b – x/a ; a≠b, a≠0 und mit *ab rechnen
ab -abc = ax – bx ; x ausmultiplizieren
ab – abc = x(a-b) ; a-b≠0, das heisst auch a≠b, deswegen kann durch . (a-b) geteilt werden
ab-abc / a-b = x ,a≠b,a≠0,b≠0
BM-Vorbereitung Mathematik 