ggT: Größter gemeinsamer Teiler von zwei oder mehreren Zahlen. Man kann diese Zahl auf zwei verschiedene Methoden herausfinden. Entweder schreibt man die Teiler jeder Zahl auf, sodass am Ende der größte gemeinsame Teiler herausgelesen werden kann. Für diese Methode müssen die Teilbarkeitsgesetze auswendig gelernt werden, aber bei größeren Zahlen beginnt man zu raten. Oder man kann eine Primfaktorzerlegung durchführen: Dabei werden alle Primzahlen, die bei allen Zahlen mit der gleichen Häufigkeit vorkommen, multipliziert. Siehe das Beispiel.
kgV: Kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei oder mehreren Zahlen. In diesem Kontext ist ein Vielfaches das Produkt aus einem Faktor und einer gegebenen Zahl. Der andere Faktor ist beliebig. Dieses Multiplizieren mit verschiedenen Faktoren kann zum gleichen Resultat führen, und das nennt man das kleinste gemeinsame Vielfache. Hier ist es empfehlenswert, die Primfaktorzerlegung zu verwenden, da dies schneller geht als das ungezielte Raten der Faktoren für die Multiplikationen. Siehe das Beispiel.
Primfaktoren: Primfaktoren sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Die kleinsten Primzahlen sind folgende: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…
Primfaktorzerlegung: Jede Zahl wird in Primfaktoren zerlegt. Die Primfaktorzerlegung zeigt auf, mit welchen Primfaktoren multipliziert werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Wenn ein Primfaktor mehrmals vorkommt, wird er als eine Potenz dargestellt. Beispiele für die Primfaktorzerlegung:
5 (1;5)
15 (1;3;5)
200 (1;2;2;2;5;5) = 200(1;23;52)
ggT mittels Primfaktorzerlegung:
Nach der Primfaktorzerlegung aller Zahlen werden die Primfaktoren herausgesucht, die bei allen Zahlen vorkommen. Bei mehrfach vorkommenden Primfaktoren wird der kleinere Exponent genommen. Diese herausgesuchten Primfaktoren werden miteinander multipliziert, um den ggT zu erhalten.
Beispiel:Finde den ggT der Zahlen 356, 700 und 300:
1.Primfaktorzerlegung:
356(2;2;89) = 356(22;89)
700(2;2;5;5;7) = 700(22;52;7)
300(2;2;3;5;5) = 300(22;3;52)
2.Gemeinsame Primfaktoren mit kleinstem Exponent:
22
3. Multiplikation der herausgesuchten Primfaktoren:
ggt=22=4
kgV mittels Primfaktorzerlegung:
Nach der Primfaktorzerlegung aller Zahlen werden die Primfaktoren mit dem höchsten Exponenten herausgesucht. Diese Primfaktoren werden miteinander multipliziert, um das kgV zu erhalten.
Beispiel: Finde das kgV der Zahlen 356, 700 und 300:
1.Primfaktorzerlegung:
356(2;2;89) = 356(22;89)
700(2;2;5;5;7) = 700(22;52;7)
300(2;2;3;5;5) = 300(22;3;52)
2. Primfaktoren mit höchstem Exponenten:
22;52;3;7;89
3. Multiplikation der herausgesuchten Primfaktoren:
22*52*3*7*89=186900
Aufgaben:
Einfache Aufgaben:
Bestimmen Sie den ggT von den folgenden Zahlen:
1.) 36, 60
2.) 45, 75
Bestimmen Sie den kgV von den folgenden Zahlen:
3.)8, 12
4.) 18, 24
Mittlere Aufgaben:
Bestimmen Sie den ggT von den folgenden Zahlen:
1.)36, 48, 60
2.)42, 70, 98
Bestimmen Sie den kgV von den folgenden Zahlen:
3.)8, 12, 15
4.)24, 36, 48
Schwierige Aufgaben:
1.) Bestimmen Sie den kgV und den ggT folgender Zahlen: 22*32, 23*5*7
2.) Zwei Eisenstangen sind 420 cm und 700 cm lang. Es sollen daraus gleichlange Stücke (nur ganze Zentimetermasse) geschnitten werden. Bestimmen Sie, wie die Länge zu wählen ist, wenn die Stücke möglichst lang sein sollen.
3.) Ein Bus fährt immer nach 15 Minuten wieder vom Bahnhofplatz weg. Ein anderer Bus bedient eine längere Strecke und fährt alle 18 Minuten weg. Beide fahren morgens um 7 Uhr zum ersten Mal. Bestimmen Sie, um welche Zeit sie sich das nächste Mal auf dem Bahnhofplatz treffen.
LÖSUNGEN:
Einfache Aufgaben
- Lösung:12
Lösungsweg:
36=2*2*3*3
60=2*2*3*5
Ggt= 2*2*3=12
- Lösung:15
Lösungsweg:
45=3*3*5
75=3*5*5
Ggt=3*5=15
- Lösung:24
Lösungsweg:
8=2*2*2
12=2*2*3
kgV=2*2*2*3=24
- Lösung:72
Lösungsweg:
18=2∗3∗3
24=2∗2∗2∗3
Kgv=2*2*2*3*3=72
Mittlere Aufgaben:
- Lösung:12
Lösungsweg:
36=2∗2∗3∗3
48=2∗2∗2∗2∗3
60=2∗2∗3∗5
Ggt=2*2*3=12
- Lösung:14
Lösungsweg:
42=2∗3∗7
70=2∗5∗7
98=2∗7∗7
Ggt=2*7=14
- Lösung:120
Lösungsweg:
8=2∗2∗2
12=2∗2∗3
15=3∗5
Kgv=2*2*2*3*5=120
- Lösung:144
Lösungsweg:
24=2∗2∗2∗3
36=2∗2∗3∗3
48=2∗2∗2∗2∗3
kgV=2*2*2*2*3*3=144
Schwierige Aufgaben:
- Lösung: ggt=4 kgV=2520
Lösungsweg:
Ggt=22=4
Kgv=23*32*5*7=2520
- Lösung:140 cm
Lösungsweg:
Der ggT der Längen 420cm und 700 cm ist gesucht.
420=2∗2∗3∗5∗7
700=2∗2∗5∗5∗7
ggT=2*2*5*7=140 cm
- Lösung: Sie treffen sich um 08:30.
Lösungsweg:
Der kgV von 15 min und 18 min wird gesucht.
15=3∗5
18=2∗3∗3
kgV=2*3*3*5=90 min 7 Uhr +1h30min=8:30 Uhr
Einfache Aufgaben
- Lösung:12
Lösungsweg:
36=2*2*3*3
60=2*2*3*5
Ggt= 2*2*3=12
2. Lösung : 15
Lösungsweg:
45=3*3*5
75=3*5*5
Ggt=3*5=15
3. Lösung: 24
Lösungsweg:
8=2*2*2
12=2*2*3
kgV=2*2*2*3=24
4. Lösung:72
Lösungsweg:
18=2∗3∗3
24=2∗2∗2∗3
Kgv=2*2*2*3*3=72
Mittlere Aufgaben:
- Lösung: 12
Lösungsweg:
36=2∗2∗3∗3
48=2∗2∗2∗2∗3
60=2∗2∗3∗5
Ggt=2*2*3=12
2. Lösung:14
Lösungsweg:
42=2∗3∗7
70=2∗5∗7
98=2∗7∗7
Ggt=2*7=14
3. Lösung: 120
Lösungsweg:
8=2∗2∗2
12=2∗2∗3
15=3∗5
Kgv=2*2*2*3*5=120
4. Lösung: 144
Lösungsweg:
24=2∗2∗2∗3
36=2∗2∗3∗3
48=2∗2∗2∗2∗3
kgV=2*2*2*2*3*3=144
Schwierige Aufgaben:
- Lösung ggt = 4, kgV = 250
Lösungsweg:
ggT=22=4
kgV=23*32*5*7=2520
2. Lösung: 140cm
Lösungsweg:
Der ggT der Längen 420cm und 700 cm ist gesucht.
420=2∗2∗3∗5∗7
700=2∗2∗5∗5∗7
ggT=2*2*5*7=140 cm
3. Lösung: Sie treffen sich um 08:30.
Lösungsweg:
Der kgV von 15 min und 18 min wird gesucht.
15=3∗5
18=2∗3∗3
kgV=2*3*3*5=90 min 7 Uhr +1h30min=8:30 Uhr
BM-Vorbereitung Mathematik 